Matematická laboratoř – vzdálenost bodů, střed a parametr
MATEMATICKÁ LABORATOŘ

Vzdálenost bodů, střed úsečky a parametr

Nejdříve pracuj s trojúhelníkem v rovině. Potom stejnou myšlenku použij u bodů zadaných třemi souřadnicemi a s parametrem.
ČÁST A – TROJÚHELNÍK V ROVINĚ

Body A[−2; 1], B[4; 1], C[2; 5]

-3-2-101234560123456 A B C

1. Délka strany BC

Úsečku BC si představ jako přeponu pravoúhlého trojúhelníku. Urči délky jeho odvěsen.

Podívej se, o kolik jednotek se musíš posunout vodorovně a o kolik svisle, abys přešel/přešla z bodu B do bodu C. Počítáme délky odvěsen, proto jsou obě kladné.

2. Použij Pythagorovu větu

|BC| = √(2² + 4²)
Z předchozího kroku znáš délky odvěsen 2 a 4. Strana BC je přepona. Použij Pythagorovu větu.

3. Střed strany BC

Urči obě souřadnice středu S strany BC.

S = [(xB + xC)/2 ; (yB + yC)/2]
Pro x-ovou souřadnici zprůměruj 4 a 2. Pro y-ovou souřadnici zprůměruj 1 a 5.

4. Délka těžnice ta

Těžnice z vrcholu A vede do středu S strany BC. Už víš, že S = [3; 3].

Nejdříve urči rozdíly souřadnic bodů A a S.

Potom zapiš délku těžnice. Přesný výsledek můžeš zadat jako √29 nebo desetinně přibližně 5,39.

A[−2;1], S[3;3]. Rozdíly jsou 5 a 2. Délka tedy vychází √(5² + 2²).
ČÁST B – PARAMETRICKÉ ZADÁNÍ

A[2 + p; 2; 1], B[3; −p; 2], |AB| = √10

Urči hodnoty parametru p. Postupuj po jednotlivých krocích.

1. Urči vzdálenost bodů A, B.

Nejdříve urči rozdíly jednotlivých souřadnic bodů A a B.

Urči rozdíl x-ových souřadnic:

3 − (2 + p) =

Urči rozdíl y-ových souřadnic:

−p − 2 =

Urči rozdíl třetích souřadnic:

2 − 1 =
1. souřadnice: 3 − (2 + p). Druhá: −p − 2. Třetí: 2 − 1.

2. Sestav rovnici pro délku

Protože |AB| = √10, po umocnění obou stran dostaneme:

(1 − p)² + (−p − 2)² + 1² =
(√10)² = 10.

3. Odstraň závorky

Doplň koeficienty po roznásobení a úpravě.

p² + p + = 0
(1−p)² = 1−2p+p² a (−p−2)² = p²+4p+4. Nezapomeň ještě na +1 a pravou stranu 10.

4. Vyřeš rovnici

Po vydělení dvěma dostaneš p² + p − 2 = 0. Urči obě řešení.

Hledej dvě čísla, jejichž součin je −2 a součet 1: (p + 2)(p − 1) = 0.

Výsledek

Výborně. Podmínku |AB| = √10 splňují dvě hodnoty parametru:

p = 1 nebo p = −2

V této úloze jsi použil/a stejnou myšlenku jako na číselné ose: rozdíl souřadnic určuje vzdálenost. V rovině a prostoru se jednotlivé rozdíly spojí pomocí Pythagorovy věty.