DĚLITELNOST • LEKCE 1 Z 5

Dělitel a násobek

V této lekci nebudeš dostávat hotová pravidla. Nejdřív je zkusíš objevit sám.

Lekce 1 Začínáme
1 • OBJEV

Jak rozdělit 24 studentů?

Ve třídě je 24 studentů. Učitel je chce rozdělit do stejně početných skupin tak, aby žádný student nezůstal stranou.

Kolik studentů může být v jedné skupině?

Zkoušej jednotlivé možnosti. Sleduj, co se se studenty stane.

Teď už bez nabídky

Některé možnosti už jsi vyzkoušel. Dokážeš najít všechny možné počty studentů v jedné skupině?

Zapiš všechna čísla oddělená čárkou.


💡 Hledej dvojice čísel, jejichž součin je 24. Například 4 · 6 = 24.
🔎 Co jsi objevil?

1 · 24 = 24
2 · 12 = 24
3 · 8 = 24
4 · 6 = 24
D(24) = {1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24}
Každým z těchto čísel můžeme číslo 24 vydělit beze zbytku.

Dělitel je číslo, kterým můžeme dané číslo vydělit beze zbytku.
2 • POCHOP

Dělitel × násobek

Právě jsme zjistili, že číslo 6 dělí číslo 24 beze zbytku.

24 : 6 = 4
6 je dělitelem čísla 24.

Ale stejný vztah můžeme popsat také opačně:

24 je násobkem čísla 6.

Zkus to sám

8 · 7 = 56

Označ všechna pravdivá tvrzení.











A co násobky?

Pokračuj v řadě násobků čísla 5:

5, 10, 15, 20, 25, 30, ...
Může tato řada někdy skončit?
Další objev:

Dané přirozené číslo má konečný počet dělitelů.

Nenulové přirozené číslo má nekonečně mnoho násobků.
3 • MATEMATICKÁ LABORATOŘ 🔬

Objevujeme znaky dělitelnosti

Musíme pokaždé provést dělení? Nebo dokážeme dělitelnost poznat rychleji?

V každém pokusu nejprve něco vyzkoušej. Pravidlo se ukáže až potom.

Pokus 1 ze 7

Dělitelnost dvěma

Vyber všechna čísla, která jsou dělitelná 2.

🔎 Nemusíš sledovat celé číslo. Podívej se na poslední číslici.

Co mají správně vybraná čísla společného?


Číslo je dělitelné 2, pokud jeho poslední číslice je 0, 2, 4, 6 nebo 8.

Takovým číslům říkáme sudá čísla.
Pokus 2 ze 7

Co mají společného násobky pěti?

Doplň další tři členy řady:

5, 10, 15, 20, 25, 30, ...

🔎 Podívej se na poslední číslice všech násobků pěti. Co pozoruješ?

Číslo je dělitelné 5, pokud jeho poslední číslice je 0 nebo 5.
Pokus 3 ze 7

A co desítka?

Vyber všechna čísla dělitelná 10.

Napiš vlastní pravidlo.

Číslo je dělitelné 10, pokud jeho poslední číslice je 0.
Pokus 4 ze 7

Záhada trojky

Která z těchto čísel jsou dělitelná 3?

U dvojky pomohla poslední číslice. Funguje to tady také?

💡 Zkus místo poslední číslice sečíst všechny číslice.
123 → 1 + 2 + 3 = 6
214 → 2 + 1 + 4 = 7
315 → 3 + 1 + 5 = 9
427 → 4 + 2 + 7 = 13
702 → 7 + 0 + 2 = 9
1236 → 1 + 2 + 3 + 6 = 12

Co jsi objevil?

Číslo je dělitelné 3, pokud je jeho ciferný součet dělitelný 3.

Teď svoji hypotézu ještě ověř:

5 241 • 7 315 • 8 002

Která z těchto čísel jsou dělitelná 3?

Pokus 5 ze 7

Co devítka?

U trojky jsi objevil práci s ciferným součtem.

Vyber čísla dělitelná 9:

Dokážeš formulovat pravidlo?

Číslo je dělitelné 9, pokud je jeho ciferný součet dělitelný 9.
Každé číslo dělitelné 9 je také dělitelné 3. Platí to?
Pokus 6 ze 7

Záhada čtyřky

Prohlédni si dvojice:

316 a 516

728 a 1 128

2 324 a 7 324
Co mají čísla v každé dvojici společného?
🔎 Zaměř se na poslední dvě číslice.

Ověř dělitelnost čtyřmi a zkus vytvořit pravidlo.

Číslo je dělitelné 4, pokud je číslo tvořené jeho posledními dvěma číslicemi dělitelné 4.
Pokus 7 ze 7

Závěčný objev – šestka

Tady už žádné nové pravidlo hledat nemusíš. Zkus propojit dva objevy, které už znáš.

Číslo ÷ 2 ÷ 3 ÷ 6
126✓✓✓
132✓✓✓
135✗✓✗
142✓✗✗
234✓✓✓
315✗✓✗
420✓✓✓

Kdy je tedy číslo dělitelné 6?

Číslo je dělitelné 6, pokud je dělitelné 2 A ZÁROVEŇ 3.

🧠 Co jsi objevil

Právě jsi postupně objevil sedm znaků dělitelnosti. Teprve teď si je můžeme dát vedle sebe.

Dělitelnost Jak ji poznáme
2 poslední číslice je 0, 2, 4, 6 nebo 8
3 ciferný součet je dělitelný 3
4 poslední dvojčíslí je dělitelné 4
5 poslední číslice je 0 nebo 5
6 číslo je dělitelné současně 2 i 3
9 ciferný součet je dělitelný 9
10 poslední číslice je 0
4 • PROCVIČ

🕵️ Detektiv dělitelnosti

Pravidla už znáš. Teď je musíš umět použít.

Případ 1 ze 4

Najdi stopu

Je číslo 4 728 dělitelné 2?

Podle čeho jsi to poznal?

Případ 2 ze 4

Chybějící číslice

Doplň všechny číslice □ tak, aby číslo

47□

bylo dělitelné 3.

Případ 3 ze 4

Dvě stopy současně

Doplň □ tak, aby číslo

47□

bylo dělitelné 2 A ZÁROVEŇ 3.

Případ 4 ze 4

Je tvrzení vždy pravdivé?

Petr tvrdí:

„Každé číslo dělitelné 3 je také dělitelné 6.“

Pokud Petr pravdu nemá, najdi číslo, které jeho tvrzení vyvrátí.

🏆 Detektivní případy vyřešeny.

Už nepoužíváš znaky dělitelnosti jen mechanicky. Dokážeš kombinovat podmínky a hledat protipříklady.
5 • POUŽIJ

Teď už bez návodu

V zadání už nebude napsáno, který znak dělitelnosti máš použít. Musíš to poznat sám.

Úloha 1 ze 3

Balení čokolád

Ve skladu je 156 čokolád. Mají se zabalit do stejně velkých balíčků tak, aby žádná čokoláda nezbyla.

Vedoucí navrhl balení po 2, 3, 4, 5, 6 nebo 9 kusech.

Které velikosti balení jsou možné?

Úloha 2 ze 3

Školní výlet

Na výlet jede 135 žáků. Organizátoři je chtějí rozdělit do stejně početných skupin.

Navrhli skupiny po 5, 6 nebo 9 žácích.

Které možnosti lze uskutečnit bez jediného žáka navíc?

Úloha 3 ze 3

Barevné kartičky

Máme 48 modrých a 36 červených kartiček.

Chceme vytvořit několik stejných balíčků tak, aby se spotřebovaly všechny kartičky.

Můžeme vytvořit 2, 3, 4, 5 nebo 6 balíčků?

🔎 Právě ses setkal s novým pojmem.

Čísla, která jsou děliteli 48 i 36 současně, nazýváme jejich společnými děliteli.

A teď otázka, kterou si zatím necháme otevřenou:

Co kdybychom chtěli vytvořit co největší možný počet stejných balíčků?
6 • OVĚŘ SE

Opravdu tomu rozumím?

Nejde o známku. Zjistíme, co už zvládáš a k čemu se případně ještě vrátit.

1. Dělitel × násobek

Víme, že 72 : 8 = 9. Které tvrzení určitě platí?

2. Dělitelé

Najdi všechny dělitele čísla 30.

3. Znaky dělitelnosti

Doplň všechny číslice □ tak, aby číslo 62□ bylo dělitelné 3.

4. Kombinování podmínek

Doplň číslici □ tak, aby číslo 38□ bylo dělitelné 2 i 3.

5. Zdůvodnění

Je číslo 13 572 dělitelné 6?

6. Společní dělitelé

Máme 42 zelených a 30 žlutých kartiček. Které z počtů 2, 3, 5, 6, 7 mohou být počtem stejných sad?

🎉 Lekce 1 dokončena

Už umíš pracovat s děliteli a násobky a dokážeš poznat dělitelnost mnoha čísel bez samotného dělení.

Při práci s kartičkami jsme ale narazili na nový problém.

Jak efektivně pracovat s děliteli, když jsou čísla větší?

Budeme k tomu potřebovat čísla, která mají mezi přirozenými čísly zvláštní postavení.

PRVOČÍSLA

To bude naše další zastávka.